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2020年高考北师版数学文科一轮第5章 第2节 等差数列及其前n项和

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第5章 数列 第二节 等差数列及其前n项和 2 [考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式 与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并 能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函 数的关系. 栏目导航 01 课前知识全通关 栏 目 导 航 04 02 03 课堂题型全突破 真题自主验效果 课后限时集训 4 课 前 知 识 全 通 关 栏目导航 5 1.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项的 差 都 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.用符号表示为 an+1-an=d a+ b (2)等差中项: 数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 A= 2 , (n∈N ,d 为常数). * 其中 A 叫做 a,b 的 等差中项 . 答案 栏目导航 6 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)通项公式:an= a1+(n-1)d . n?n-1?d (2)前 n 项和公式:Sn= na1+ 2 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则 n?a1+an? = . 2 ak+al=am+an . 答案 栏目导航 7 (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列, 公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列, 公差为 d, 则 ak, ak+m, ak+2m, …(k, m∈N*) 是公差为 md 的等差数列. (6)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. d? d 2 ? ? (7)等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn= n +?a1-2? ?n. 2 ? ? 答案 栏目导航 8 [常用结论] 1.等差数列前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 有最大值,即所有正 项之和最大, 若 a1<0, d>0, 则 Sn 有最小值, 即所有负项之和最小. an 2.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则有b = n S2n-1 . T2n-1 3.等差数列{an}的前 n 项和为 ? ?Sn? ? ?也是等差数列. Sn,则数列? ? ?n? ? 栏目导航 [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1 =an+an+2. (2)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的. 数. ( ( ( (4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数. ( [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 答案 9 ) ) ) ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函 栏目导航 10 2.(教材改编)等差数列 11,8,5,…,中-49 是它的第几项( A.第 19 项 C.第 21 项 B.第 20 项 D.第 22 项 ) C [由题意知 an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14,令-3n+14 =-49 得 n=21,故选 C.] 解析答案 栏目导航 11 3.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6 等于( A.-1 B.0 C.1 D.6 ) B [a2,a4,a6 成等差数列,则 a6=0,故选 B.] 解析答案 栏目导航 12 4.小于 20 的所有正奇数的和为________. 100 [小于 20 的正奇数组成首项为 1,末项为 19 的等差数列, 10?1+19? 共有 10 项,因此它们的和 S10= =100.] 2 解析答案 栏目导航 13 5.(教材改编)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1, 则 a5=________. -1 [由 S2=S6 得 a3+a4+a5+a6=0,即 a4+a5=0,又 a4=1, 则 a5=-1.] 解析答案 栏目导航 14 课 堂 题 型 全 突 破 栏目导航 15 等差数列基本量的运算 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a6+a18=54,S19=437, 则 a2 018 的值是( A.4 039 A ) B.4 038 C.2 019 D.2 038 [设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知 ?2a1+22d=54, ?a1=5, ? 解得? ?19a1+171d=437, ?d=2, 所以 a2 018=5+2017×2=4 039,故选 A.] 解析答案 栏目导航 16 2.(2019· 武汉模拟)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2 =2,则数列{an}的公差 d 等于( A.-1 B.-2 C.-3 ) D.-4 C ?a1+a7=2a1+6d=-8, [由题意知? ?a2=a1+d=2. ?d=-3, 解得? 故选 C.] ?a1=5, 解析答案 栏目导航 17 3. 《张丘建算经》 卷上第 22 题为: “今有女善织, 日益功疾. 初 日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有一女子擅长织布, 且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织 5 尺布, 现在一个月(按 30 天计)共织 390 尺布.则该女子最后一天织布的尺 数为( ) B.20 C.21 D.25 A.18 解析答案 栏目导航 18 C [用 an 表示第 n 天织布的尺数,由题意知,



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